Момент инерции Земли

Момент инерции Земли немаловажная физическая характеристика, которая поможет вычислить интенсивность выпадения вещества из космоса. Момент инерции Земли можно вычислить двумя способами:

1. способом, который использует закон сохранения момента импульса Земли;
2. способом послойного суммирования моментов инерции.

Нахождение момента инерции Земли, когда используется закон сохранения момента импульса Земли

Этот метод построен на основании гипотезы образовании Луны из части вещества, отделившегося от Земли в результате взрыва.

Рассмотрим возможные варианты движения различных частей вещества планеты в процессе взрыва.

1. Какая-то часть отделится от планеты и полетит строго вертикально вверх, то есть в радиальном направлении. В этом случае оторвавшаяся часть m (Рис. 1) с какой-либо скоростью не начинала своё движение и как бы далеко не удалялась, она всё равно упадёт на планету под действием силы тяжести. Планета останется в итоге без движения.

2. Оторвавшаяся часть полетит горизонтально, перпендикулярно радиусу планеты. В этом случае она далеко не улетит из-за трения о поверхность планеты и трения об атмосферу. Планета и в этом случае вращаться не будет, только могут образоваться горы.

3. Оторвавшаяся часть полетит под некоторым углом α между радиальным направлением и направлением движения оторвавшейся части. На оторвавшуюся часть действует сила F_л. Разложим этот вектор силы на два взаимно перпендикулярные вектора: на вертикальный F_лв - проекцию вектора силы F_л на радиальное направление и на горизонтальный вектор F_лг - проекцию вектора силы F_л на направление, перпендикулярное радиальному. Согласно третьему закону Ньютона планета будет испытывать действие силы F_зг, равной по величине и противоположной по направлению силе F_лг.

Если V<V_1к, то отделившаяся часть, совершив баллистический полёт по траектории Б (Рис. 3), упадёт на планету. То количество движения, которое имела на время полёта отделившаяся часть, вернётся планете.

Если V_1к<V<V_2к, то есть скорость отделившейся части больше первой космической, но меньше второй космической скорости, то она выйдет на эллиптическую траекторию вращения вокруг планеты. При равенстве V=V_1к орбита будет круговой. Отделившаяся часть, массой m_л , от действия силы F_лг за время dt получит импульс момента силы dL_л=M_л·dt  (1). Здесь M_л - момент силы M_л=F_лг×R_з (2). После подстановки формулы (2) в формулу (1) получим dL_л=F_лг·dt×R_з (3). Планета в результате отделения от неё части вещества получит импульс момента силы dL_з=M_з·dt = J_зdω (4), где

• M_з - момент силы F_зг, которая вызвала вращение планеты (Земли), M_з=F_зг×R_з (5);
• J_з - момент инерции планеты;
• dω- изменение угловой скорости вращения планеты.

Сравнивая формулы (2) и (5), (1) и (4), приходим к выводу, импульсы моментов сил отделившейся части и планеты равны по величине и противоположны по направлению, что соответствует закону сохранения момента импульса замкнутой системы. dL_л = - dL_з (6) или dL_л + dL_з = 0  (7). Подставляем в равенство (6) правые части формул (3) и (4) F_лг·dt×R_з = -J_зdω. Умножаем обе части полученного равенства на dt F_лг×R_з = - J_зdω/dt  (8). В этой формуле F_лг = m_л·dV_л/dt  (9). После подстановки (9) в (8) и умножения на dt получаем m_лdV_л×R_з = -J_зdω (10). Изменим знаки перед правой и левой частями на противоположные а также порядок сомножителей векторного произведения в левой части. R_з×m_лdV_л = J_зdω  (11) Проинтегрируем обе части полученного равенства, в котором модуль вектора линейной скорости V_л может принимать значения от 0 до V_1к, угловая скорость ω может принимать значения от 0 до ω_з. R_з×m_лdV_л = J_зdω  (12). R_з×m_лV_1к = J_зω  (13). Так как угол между векторами R_з и V_1к равен 0,5π (Sin0,5π = 1), то выражение (13) можно представить в следующем виде R_зm_лV_1к = J_зω_з  (14). Отсюда получаем момент инерции планеты

 (15)

Jз = RзmлV1к/ωз

Для планеты Земля

• R_з - радиус Земли, R_з = 6,371·10⁶ м;
• m_л - масса Луны, сумма всех отделившихся частей, из которых сформировалась Луна. m_л = 7,35·10²² кг;
• V_1к - первая космическая скорость. Для планеты Земля она известна [25] , [10], V_1к = 7,9·10³ м/с;
• ω - угловая скорость вращения Земли. ω_з = 2π/T_з  (16), где T_з - период суточного обращения Земли вокруг своей оси, длительность суток. T_з = 8,64·10⁴ с.
• J_з = 5, 155·10³⁷ кг·м²

На рисунке 4 цифрами обозначены:

• 1 траектории оторвавшихся частей, скорости которых меньше V_1к,
• 2 траектория оторвавшейся части, скорость которой V_1к<V<V_2к,
• 3 траектория оторвавшейся части, скорость которой V_2к.

Нахождение момента инерции Земли путём послойного суммирования моментов инерции.

Для нахождения момента инерции Земли представим земной шар состоящим из n тонкостенных сфер толщиной Δr и центрального твёрдого ядра радиусом r_я . Тогда момент инерции земного шара можно выразить формулой

J_з = (2/3)m_ir_i² + 0,4m_яr_я²   (17), где

• m_i - масса i - сферы;
• m_я - масса твёрдого земного ядра. Предполагается, что оно имеет однородную плотность;
• r_i - радиус i - сферы, который изменяется от r_я до R_з.

Массу i - сферы можно найти по формуле m_i = 4πρ_ir_i²·Δr   (18). Обозначим первое слагаемое в формуле (17) как J₁ и проведём с ним ряд преобразований. Подставим в это слагаемое выражение (18). J₁ = (8/3)πρ_ir_i⁴·Δr  (19) Если предположить, что плотность вещества Земли от поверхности твёрдого ядра до поверхности земного шара (от r_я до R_з ) меняется прямолинейно и непрерывно от ρ₁ до ρ_n, то выражение под знаком ∑ в формуле (19) можно заменить интегралом J₁ = (8/3)πρr⁴·dr  (20). Здесь ρ есть функция от r, ρ = f(r) . Исходя из предположения линейного изменения плотности уравнение прямой изменения плотности в зависимости от радиуса можно записать в следующем виде ρ = (ρ₁-ρ_n)(R_З- r)/(R_З-r_я) + ρ_n (21). Учитывая выражение (21) при вычислении интеграла в формуле (20) и подставляя в формулу (17), получим

 (23)

Если при средней плотности вещества жидкого ядра и земной коры равной 2,8·10³ кг/м³ предположить, что плотность вещества на поверхности Земли ρ_n равна 2·10³ кг/м³, то плотность вещества у поверхности твёрдого ядра ρ₁ будет равна 3,6·10³ кг/м³. Имея ввиду, что R_з = 6,371·10⁶ м, r_я = 1,27·10⁶ м и m_я = 2,98·10²⁴ кг , получим J_з = 3,746·10³⁷ кг·м²  (24).

Значения момента инерции Земли, вычисленные двумя разными способами, получились весьма близкими, что свидетельствует о том, что исходные предположения о распределении плотности и что примерно половина массы Земли сосредоточена в твёрдом земном ядре, а также гипотеза о происхождении Луны близки к истине!

---

1. В природе, во Вселенной, разложение вектора силы на два взаимно перпендикулярные вектора силы происходит автоматически. Один из них, лежащий на линии центр масс тела - точка приложения силы, вызывает поступательное движение тела вдоль этой линии. Другой вектор, лежащий на линии перпендикулярной линии центр масс - точка приложения силы, вызывает вращение тела.

---

Сайт создан в системе uCoz